Wichtige Inhalte in diesem Video
Du suchst nach dem einfachsten Rechenweg für den Abstand zweier Geraden? In diesem Beitrag erklären wir dir Schritt für Schritt, wie du die Distanzen zwischen Geraden bestimmen kannst.
Alternativ zum Artikel kannst du dir auch unser Erklärvideo zum Thema Abstand zweier Geraden ansehen, in dem alle Berechnungen kompakt und anschaulich durchgegangen werden.
Inhaltsübersicht
Abstand Gerade Gerade einfach erklärt
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(00:11)
Der Abstand zwischen zwei Geraden entspricht der kürzesten Strecke zwischen zwei auf den jeweiligen Geraden liegenden Punkten. Man berechnet also die Distanz genau dort, wo sich die Geraden am nächsten kommen. Bei dieser Abstandsrechnung musst du zunächst prüfen, welche Lagebeziehung die Geraden aufweisen.
Lagebeziehungen von Geraden
Vier verschiedene Lagebeziehungen von Geraden sind möglich:
- identische Geraden: Vektoren sind Vielfache voneinander (kollineare Richtungsvektoren). Der Abstand beträgt 0.
- sich schneidende Geraden: Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, die Schnittpunktbestimmung liefert eine wahre Aussage. Der Abstand beträgt 0.
- echt parallele Geraden: Die Richtungsvektoren sind kollinear; die Aufpunkte liegen nur auf einer Gerade. Der Abstand muss berechnet werden.
- windschiefe Geraden: Die Richtungsvektoren sind nicht-kollinear; die Berechnung des Schnittpunkts liefert eine falsche Aussage
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(00:32)
Den Abstand müssen wir also nur bei parallelen und windschiefen Geraden bestimmen. In diesem Artikel besprechen wir drei Wege den Abstand für Geraden zu bestimmen, die parallel sind. Für windschiefe Geraden haben wir einen eigenen Artikel für dich.
Abstand paralleler Geraden
Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich groß. Zur Berechnung kannst du daher einen beliebigen Punkt auf einer der beiden Geraden wählen und danach dessen Entfernung zur anderen bestimmen. Die anschließenden Rechenschritte sind dann die selben wie beim Abstand Punkt Gerade. Wir können uns also je nach Aufgabenstellung entscheiden, ob wir die Distanz mit Hilfe der Abstandsformel bestimmen oder eines der Lotfußpunktverfahren anwenden.
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Abstand paralleler Geraden Formel
Den Abstand zweier paralleler Geraden können wir auf dem gleichen Weg wie den Abstand Punkt Gerade bestimmen. Gesucht ist der Abstand der Geraden 
und 
.
Abstandsformel paralleler Geraden
: Vektor des Aufpunkts der Geraden 
: Vektor des Aufpunkts der Geraden 
: Richtungsvektor der Gerade
Lösungsweg
- Beliebigen Punkt P auf einer der Geraden definieren (einfachste Lösung: Aufpunkt von
) - Vektor von Vektor abziehen. Du erhältst den Verbindungsvektor
- Kreuzprodukt aus Verbindungsvektor und Richtungsvektor der Geraden ausrechnen
- Ergebnisse in Abstandsformel eintragen und ausrechnen
von Vektor 
abziehen. Du erhältst den Verbindungsvektor 
Wenn du wissen möchtest, wie man den ersten Schritt umsetzt, dann schau dir unser Beispiel weiter unten an. Sobald du diesen Schritt erledigt hast, kannst du genauso fortfahren, wie beim Abstand zwischen Punkt und Gerade. In einem eigenen Beitrag findest du ein ausführliches Beispiel.
Abstand paralleler Geraden Lotfußpunktverfahren
Genau wie beim Abstand Punkt Gerade können wir die Entfernung zweier paralleler Geraden auch mit den Lotfußpunktverfahren berechnen. Gesucht ist der Abstand der Geraden 
und .
Lösungsweg mit Hilfsebene
Abstand paralleler Geraden mit einer Hilfsebene
- Beliebigen Punkt P auf einer der Geraden definieren (einfachste Lösung: Aufpunkt von )
- Hilfsebene aufstellen, die senkrecht auf den Geraden und steht und den Punkt enthält
- Schnittpunkt der Gerade und der Ebene bestimmen
- Berechnung des Abstands
der Gerade 
bestimmen
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In unserem Beispiel rechnen wir mit genau diesem Lösungsweg.
Lösungsweg mit laufendem Punkt
Abstand paralleler Geraden mit laufendem Punkt
- Beliebigen Punkt P auf einer der Geraden definieren (einfachste Lösung: Aufpunkt von )
- Allgemeinen Verbindungsvektor zwischen dem „laufenden“ Punkt auf der Geraden und dem Punkt aufstellen
- Orthogonalitätsbedingung () liefert den Lotfußpunkt
- Abstand des Punktes zur Geraden:
aufstellen
) liefert den Lotfußpunkt 
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Auch für dieses Verfahren gilt bis auf den ersten Schritt derselbe Lösungsweg wie beim Verfahren für Punkt und Gerade. Wenn du ein Beispiel dazu sehen möchtest, schau dir unseren eigenen Beitrag an.
Abstand Gerade Gerade Beispiel
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(02:12)
Berechne den Abstand der beiden parallelen Geraden 
und 
:
Sobald wir einen Punkt auf einer der Geraden gewählt haben, gleichen die weitere Lösungsschritte für alle Varianten stets denen, die wir dir in unseren Artikeln zu Abstand Punkt Gerade und Lotfußpunktverfahren sehr ausführlich gezeigt haben. In diesem Beispiel rechnen wir den Abstand mit einer Hilfsebene.
Schritt 1: Punkt auf einer Geraden bestimmen
Wir können bei diesem Schritt jeden beliebigen Punkt wählen, der auf einer der beiden Geraden liegt. Am besten überlegst du bei diesem Schritt nicht lange und nimmst einfach den Aufpunkt der Geraden .
Diesen einfachen Schritt müssen wir sowohl bei der Formellösung als auch bei den Lotfußpunktverfahren mit Hilfslinie oder laufendem Punkt erledigen.
Schritt 2: Hilfsebene aufstellen
Eine Hilfsebene 
soll senkrecht zu beiden Geraden stehen. Da die beiden Geraden ja parallel sind, steht die Ebene immer gleichzeitig auf beiden Geraden senkrecht. Es genügt also, wenn wir senkrecht zu wählen. Dazu bilden die Koordinaten des Richtungsvektors von die Koordinatengleichung der Hilfsebene:
Der gewählte Punkt 
soll in der Ebene liegen, daher muss die Ebenengleichung erfüllen. Wir erhalten für 
:
Schritt 3: Schnittpunkt von Gerade und Hilfebene berechnen
Zur Schnittpunktbestimmung setzen wir die Koordinaten von in ein:
Setzen wir dieses 
in die Geradengleichung ein, bekommen wir den Schnittpunkt der Gerade und der Hilfsebene.
Der Schnittpunkt 
liegt bei 
.
Schritt 4: Abstand berechnen
Jetzt haben wir zwei Punkte auf den parallelen Geraden gefunden, die durch einen senkrecht auf beiden Geraden liegenden Vektor verbunden sind. Bestimmen wir die Länge dieses Vektors vom Punkt zu ergibt sich der Abstand der Geraden.
Zum Schluss berechnen wir den Betrag dieses Vektors und erhalten das Ergebnis für den Abstand der parallelen Geraden.
Abstand windschiefer Geraden
Zwei Geraden stehen windschief zueinander, wenn sie sich nicht berühren und zugleich nicht parallel sind. Windschiefe Geraden können daher nur ab drei Dimensionen auftreten. In unserem Artikel zur Berechnung des Abstandes windschiefer Geraden erklären wir diese drei Rechenwege:
- Berechnung mit Formel
- Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene
- Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt
Abstandsrechnungen in der Geometrie
Abstände kannst du in der Geometrie zwischen verschiedenen Objekten bestimmen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:
- Abstand zwischen zwei Punkten (Abstand zweier Punkte)
- Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden (Abstand Punkt Gerade)
- Abstand zwischen zwei Geraden
- wenn die Geraden parallel verlaufen (Abstand Gerade Gerade)
- wenn die Geraden windschief zueinander stehen (Abstand windschiefer Geraden)
- Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene (Abstand Punkt Ebene)
- Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene (Abstand Gerade Ebene)
